Identidade de Euler: a mais bela equação matemática?

"Like a Shakespearean sonnet that captures the very essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin deep, Euler’s equation reaches down into the very depths of existence."

["Como um soneto de Shakespeare que captura a própria essência do amor ou uma pintura que traz à tona a beleza da forma humana mais profunda, a equação de Euler alcança o âmago da existência."]

Keith Devlin

PixaçãoIntervenção artística em um ponto de ônibus na Unicamp.

"É bom saber que a equação certamente é a única a ter se tornado evidência num julgamento criminal. Em agosto de 2003, atentados ecoterroristas a uma série de revendedoras de automóveis na região de Los Angeles resultaram em prejuízo de US$ 2,3 milhões; um prédio foi incendiado e mais de cem SUVs foram destruídos ou danificados. O vandalismo incluía pichações dizendo 'BEBEDOR DE GASOLINA' e 'ASSASSINO'; e num Mitsubishi Montero escreveu-se a fórmula e^(i.π) + 1 = 0. Usando isso como pista e posteriormente como prova, o FBI prendeu William Cottrell, estudante de pós-graduação em física teórica no Instituto de Tecnologia da Califórnia, por oito acusações de incêndio criminoso e conspiração para provocar incêndio. No julgamento, que terminou com sua condenação, em novembro de 2004*, Cottrell admitiu ter escrito aquela equação no Montero. 'Eu acho que conheço aquela equação desde os cinco anos de idade', declarou Cottrell durante o julgamento. 'Todos deveriam conhecer o teorema de Euler.'" P: 81.

Crease, R.P. 2011. As grandes equações: a história das fórmulas matemáticas mais importantes e os cientistas que as criaram. Zahar. 276 p.

*Em 2009, a sentença foi anulada na apelação em função da Síndrome de Asperger de Cottrell, que, no entendimento da corte, impediria-o de atuar com dolo. A condenação por conspiração foi mantida. Cottrell foi liberado em 2011.
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Fórmula de Euler. Quando o ângulo φ é igual a 90° (π radianos) temos a identidade de Euler.Fonte: Wikimedia Commons.

A edição de outono de 1988 da The Mathematical Intelligencer perguntou a seus leitores - matemáticos industriais e acadêmicos - qual dentre 24 teoremas matemáticos listados era o mais bonito. As respostas deveriam dar notas de 0 a 10 para cada item. O resultado seria publicado no verão de 1990: em primeiro lugar com uma nota média de 7,7 foi, claro, a identidade de Euler (em segundo, com 7,5 de média, uma outra fórmula de Euler, a do poliedro: V + F = E + 2 - o número de vértices mais o de faces é igual ao número de arestas mais 2; com a mesma média, em terceiro lugar o teorema que diz que o número de números primos é infinito). Como trata-se de uma publicação matemática e não de estatística, deram apenas a média, não os desvios padrões para sabermos se são significativamente diferentes os valores (com n=68 respostas válidas). Em 2004, Robert P. Crease conduziu uma enquete em seu blogue no Physics World, sobre as maiores equações de todos os tempos (o que acabou rendendo seu livro citado mais acima), a identidade de Euler empatou em primeiro lugar juntamente com as quatro equações de Maxwell do eletromagnetismo.
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Fonte: xkcd

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O fato de a identidade envolver três (ou quatro) constantes matemáticas proeminentes é constanfrequentemente citado em sua classificação como belo. Mas apenas isso basta para justificá-lo como tal? O filósofo mexicano Ulianov Montaño Juarez considera um panorama maior:

"The aesthetic experience associated with Euler’s identity depends not only on the person’s inner events occurring during the act of contemplating the formula, but also on things like a person’s knowing the mathematics which allows us to make sense of the sign e^(i.π) + 1 = 0, the way a person’s preferences were formed, other people’s opinions, and so forth. The aesthetic experience of Euler’s identity depends on events that are not necessarily occurring at the exact moment of the experience, but which have an influence on it; that is, the process of experiencing Euler’s identity is embedded in a larger aesthetic-process." P: 86.

["A experiência estética associada à identidade de Euler depende não apenas dos eventos internos à pessoa que ocorrem durante o ato de se contemplar a fórmula, mas também de coisas como a pessoa conhecer a matemática que permite fazer sentido dos símbolos e^(i.π) + 1 = 0, o modo como as preferências da pessoa são formados, a opinião de outras pessoas e assim por diante. A experiência estética da identidade de Euler depende de eventos que não ocorrem necessariamente no momento exato da experiência, mas que têm influência sobre ela; isto é, o processo de experienciar a identidade de Euler é embutida em um processo estético mais amplo."]

Montano, U. 2014. Explaining Beauty in Mathematics: An Aesthetic Theory of Mathematics. Springer. 224 pp.
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A história da identidade de Euler é um tanto enigmática. Certamente o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi o primeiro a obter a fórmula e^(i.v) = cos v + i.sen v e demonstrá-la com rigor matemático no capítulo 8 de seu Introductio in analysin infinitorum. Mas ele nunca escreveu a identidade e^(i.π) + 1 = 0. O mais próximo a que chegou foi o equivalente: ln(−1) = πi. (Sandifer, C.E. 2014. How Euler did even more. MAA. 240pp. Pp: 83-7.)

Como é que é? - Todo grande crescimento é exponencial e todo crescimento exponencial é grande?

Lemos em uma reportagem no Estadão:
"Um ex-traficante de Heliópolis, na zona sul, que começou no tráfico em 2002 e ali trabalhou até o ano passado, quando se tornou evangélico, conta que o crescimento das bocas foi exponencial. No começo do ano 2000, segundo ele, eram duas bocas maiores, que brigavam entre si. Atualmente, pouco antes de sair, o total de vendedores já havia passado dos 50." (grifos meus)


Pode até ser que tenha ocorrido crescimento de forma exponencial, mas apenas com esses dados não é possível saber. Na Figura 1, os dois dados estão plotados e vemos como vários tipos de curvas podem ser ajustadaos - a exponencial é a verde, mas há a linear em vermelho, e mais duas outras e uma infinidade (infinitas curvas mesmo) de outras curvas não representadas.

Figura 1. Exemplos de curvas que poderiam explicar o modo de crescimento das bocas de fumo no bairro de Heliópolis, na Zona Sul de São Paulo, SP.

Um crescimento exponencial (bem como de decaimento exponencial) ocorre quando a taxa de variação do valor de uma variável é uma proporção fixa em relação ao próprio valor da variável: naturalmente a taxa é positiva no crescimento e negativa no decaimento. Por exemplo, se a taxa de inflação anual é fixa em, digamos, 2%, ao longo do tempo, os preços médios dos produtos terão um aumento exponencial.


A curva é descrita por funções na forma:
N(t) = N(0).e^λt


Sendo N(t) o valor da grandeza no tempo t, N(0) o valor inicial, e é o número de Euler, λ é uma constante (de crescimento, se positiva, ou de decaimento, se negativa) e t é o tempo decorrido desde o início.


Precisamos de pelo menos mais um valor intermediário para ter uma confiança maior em se é mesmo exponencial ou não. Por exemplo, se para o ano 2006, o número de bocas de fumo tiver sido próximo a 30, não é compatível com um crescimento exponencial; se o valor for próximo a 10, sim. (Ainda assim haveria um sem número de outras curvas compatíveis com esses três pontos, mas eliminaríamos várias possibilidades.)


Em outra reportagem lemos:
"Essa obra, aclamada por dirigentes como o maior legado de Andrés Sanchez além do estádio em Itaquera, foi também responsável pelo lado 'ruim' da atual administração: o aumento exponencial da dívida.Ela praticamente dobrou de tamanho de 2007 a 2011, segundo dados preliminares do departamento financeiro do clube.O passivo passou de R$ 100 milhões para R$ 190 milhões."


Novamente, temos apenas dois pontos. Felizmente, alhures* temos a série completa entre 2007 e 2011 da evolução da dívida do clube paulista. Na Figura 2 estão representados tanto os valores contabilizados quanto a curva exponencial (em vermelho - em azul, curva de ajuste polinomial de terceira ordem):

Figura 2. Evolução da dívida do Sport Club Corinthians Paulista.

Os valores não se ajusteam tão bem a um modelo de crescimento exponencial - embora seja uma dívida crescente (e o indicativo para os anos imediatamente subsequentes é de um crescimento em ritmo maior do que o exponencial). Verdade que também não se ajustam tão mal - com um índice de correlação de 0,84 - e é um modelo mais simples do que o ajuste polinomial; mas um ajuste linear (não mostrado), não é muito pior - 0,82 - e é bem mais simples.


Em mais uma reportagem ainda:
"Esse aumento exponencial do risco regulatório na Argentina acaba por prejudicar os outros países latino-americanos, inclusive o Brasil."


Não temos nenhum dado apresentado ali de medida de risco regulatório. Há vários riscos com procedimentos de quantificação, não sei se os que envolvem questões de regulação de mercados está entre eles. Mas o uso neste caso de "aumento exponencial" é claramente metafórico. Esse uso tem se tornado comum com o sentido de uma variação rápida com potencial de se atingir valores muito grandes em curto período de tempo. Porém, o quão rapidamente o crescimento exponencial levará a grandes números varia com o valor de λ. Um valor suficientemente baixo pode levar a uma taxa decepcionantemente baixa e frustrar as expectativas que se têm quando se usa a expressão "aumento exponencial", como nesta tirinha do xkcd:

(Juros compostos - ou juros sobre juros - é uma das formas de funções exponenciais. Dívidas roladas, por sua vez, especialmente no cartão de crédito e em cheques especiais, costumam ter λ grandes o suficiente para se tornarem rapidamente impagáveis - algo como 10% ao mês em alguns bancos. Figura 3.)

Figura 3. Evolução da dívida ao longo de um ano de acordo com a taxa mensal de juros.

*Obs: Os valores podem ser conferidos aqui, aqui e aqui.

Escalando números

A lei Weber-Fechner (WF) é uma velha conhecida dos fisiologistas e psicólogos. Basicamente o que ela nos diz é que a menor diferença detectável pelos nossos sentidos (limiar de percepção) entre dois estímulos de intensidades similares é proporcional à intensidade do estímulo.

Isso faz, por exemplo, que a diferença percebida entre um estímulo de 1 unidade física de medida e outro de 10 unidades seja a mesma diferença percebida entre um estímulo de 10 unidades e outro de 100 unidades: (10-1)/10 = (100-10)/100.

Uma ampla gama de canais sensórios funciona segundo esse princípio: a percepção visual, a térmica, a auditiva, a olfativa, etc. (Ao menos como uma primeira aproximação. Segundo alguns autores, a relação não se mantém constante.)

Até mesmo na contagem a lei WF parece se aplicar. A indivíduos da tribo amazônica munduruku, sem educação formal, foi pedido que associassem certas quantidades de objetos que lhes eram apresentadas com a posição ao longo de uma reta. Os pontos não foram uniformemente espaçados como em uma reta dos números naturais, as distâncias entre os pontos representando as quantidades eram proporcionais às quantidades representadas: a distância entre 2 e 4 era a mesma da entre 4 e 8; a entre 1 e 4 era a mesma da entre 2 e 8 e assim por diante (e ambos tinham uma distância igual ao dobro da distância entre 2 e 4).

Nos casos de percepção de luminosidade, intensidade sonora, massa de objetos, acidez, dulçor, etc. grande parte da codificação que resulta no efeito WF ocorre nos próprios receptores - com as fibras nervosas disparando em uma função logarítmica com a intensidade do estímulo. Mas como funcionaria o processamento de informação abstrata como quantidade numérica de objetos - sem sensores específicos para sua percepção?

Parte da base fisiológica desse fenômeno foi desvendada em macacos resos. Eletrodos foram inseridos em uma região do córtex pré-frontal de sujeitos experimentais. Esses eletrodos mediam a atividades de neurônios quando eram apresentados aos macacos pontos em um monitor. Os pontos variavam aleatoriamente de um a cinco a cada exibição. As posições dos pontos na tela também variavam aleatoriamente. Alguns neurônios exibiam maior atividade quando uma determinada quantidade de pontos era exibida - respondiam a outras quantidades também, mas em menor intensidade (e menor a intensidade quanto maior a diferença do número de pontos exibidos em relação à quantidade para a qual a resposta do neurônio era a maior): para cada quantidade, havia um grupo de neurônios que exibiam maior resposta.

Quando os dados de atividade dos neurônios eram plotados contra a quantidade de objetos exibidos, as curvas de atividade resultantes eram mais simétricas quando o eixo da quantidade de objetos exibidos era apresentado em escala logarítmica. Isso parece indicar que a própria atividade dos neurônios obedecem à lei WF, já que em uma escala logarítmica uma distância fixa corresponde a uma proporção fixa: a distância entre 1 e 10 é a mesma da distância entre 10 e 100.

Mas se a escala logarítmica nos parece tão natural - não apenas nossos sentidos processam assim a informação e animais não-humanos também exibem essa característica, como humanos sem instrução formal parecem adotar essa escala para comparar valores - por que a noção de logaritmo aparece tão tardiamente na história da matemática? E mais, a escolha de introduzi-la também tardiamente no ensino (seguindo mais ou menos a ordem cronológica do desenvolvimento histórico dos conceitos matemáticos) é a mais proveitosa (Figura 1)?

Figura 1. Relação temporal histórico e educacional da descoberta e ensino de conceitos matemáticos. (Modificado de Mesoudi 2011)

A instrução formal deve ter um efeito direto sobre a perda do efeito WF na quantificação. Um procedimento similar ao realizado com o mundurukus com crianças americanas no jardim de infância, primeiro ano e segundo ano do nível básico de ensino revelou um mudança gradual no padrão - da relação logarítima para a linear (Figura 2). (Uma questão interessante é como se alterariam os padrões de funcionamento dos neurônios correspondentes ao do estudo com macacos-reso. Há uma restrição ética,no entanto, quanto a se introduzir eletrodos no cérebro de crianças. Seria possível treinar macacos a quantificarem de modo linear?)

Figura 2. Modificação do padrão de avaliação de quantidade em crianças nos anos iniciais de estudo formal: esquerda) jardim de infância, meio) primeiro ano, direita) segundo ano do nível básico. (Fonte: Siegler & Booth 2004.)

Ao mesmo tempo, muitos autores e pesquisadores de matemática relatam que o conceito de função logarítmica é um dos que apresentam maiores dificuldades aos estudantes. Vários autores preferem até mesmo definir logaritmos naturais (ou neperianos) em termos de uma integral (o que sugere que eles achem o conceito de integral mais simples do que de logaritmo). Um efeito indireto do processo educacional?

Há algumas especulações a respeito da vantagem evolutiva do funcionamento do sistema sensório e do processamento de algumas informações sob o princípio WF (lembrando que há quem conteste que o modelo sugerido pelas lei WF descreva bem o padrão real). Uma das hipóteses é que a seleção natural haja no sentido de minimizar o erro relativo da avaliação da grandeza. Nesse caso ficaria a pergunta de por que o erro relativo seria uma característica importante ao indivíduo a ponto de ser alvo de seleção. Uma possível resposta é que o tamanho absoluto do erro que traz diferença significativa ao indivíduo depende do contexto dado pela intensidade do estímulo. Por exemplos: se em uma dada estação a quantidade de comida é escassa, qualquer grão de alimento desperdiçado pode ter consequências graves à sobrevivência ou ao sucesso reprodutivo do indivíduo, mas em uma estação relativamente abundante em recursos, a energia gasta para obter uma migalha a mais não compensaria; se há um predador por perto, o aparecimento de mais um dobram o perigo a que o sujeito está exposto, mas o aparecimento de um predador a mais em meio a outros 10 que já estão no local não faz tanta diferença no grau de perigo.

Mas mesmo derivada de observações empíricas que remontam a pelo menos 1760, a lei Weber-Fechner parece ser ainda um campo amplo para muita pesquisa. De um lado, se ela realmente se aplica para organismos vivos (e para quais subsistemas dos organismos ela se aplica); de outro, caso ela seja uma lei válida ao mundo vivo, destrinchar os detalhes fisiológicos da codificação e interpretação dos sinais segundo o princípio WF e, mais profundamente, os mecanismos e processos evolutivos que levaram ao funcionamento dos sistemas vivos segundo WF.