Identidade de Euler: a mais bela equação matemática?

"Like a Shakespearean sonnet that captures the very essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin deep, Euler’s equation reaches down into the very depths of existence."

["Como um soneto de Shakespeare que captura a própria essência do amor ou uma pintura que traz à tona a beleza da forma humana mais profunda, a equação de Euler alcança o âmago da existência."]

Keith Devlin

PixaçãoIntervenção artística em um ponto de ônibus na Unicamp.

"É bom saber que a equação certamente é a única a ter se tornado evidência num julgamento criminal. Em agosto de 2003, atentados ecoterroristas a uma série de revendedoras de automóveis na região de Los Angeles resultaram em prejuízo de US$ 2,3 milhões; um prédio foi incendiado e mais de cem SUVs foram destruídos ou danificados. O vandalismo incluía pichações dizendo 'BEBEDOR DE GASOLINA' e 'ASSASSINO'; e num Mitsubishi Montero escreveu-se a fórmula e^(i.π) + 1 = 0. Usando isso como pista e posteriormente como prova, o FBI prendeu William Cottrell, estudante de pós-graduação em física teórica no Instituto de Tecnologia da Califórnia, por oito acusações de incêndio criminoso e conspiração para provocar incêndio. No julgamento, que terminou com sua condenação, em novembro de 2004*, Cottrell admitiu ter escrito aquela equação no Montero. 'Eu acho que conheço aquela equação desde os cinco anos de idade', declarou Cottrell durante o julgamento. 'Todos deveriam conhecer o teorema de Euler.'" P: 81.

Crease, R.P. 2011. As grandes equações: a história das fórmulas matemáticas mais importantes e os cientistas que as criaram. Zahar. 276 p.

*Em 2009, a sentença foi anulada na apelação em função da Síndrome de Asperger de Cottrell, que, no entendimento da corte, impediria-o de atuar com dolo. A condenação por conspiração foi mantida. Cottrell foi liberado em 2011.
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Fórmula de Euler. Quando o ângulo φ é igual a 90° (π radianos) temos a identidade de Euler.Fonte: Wikimedia Commons.

A edição de outono de 1988 da The Mathematical Intelligencer perguntou a seus leitores - matemáticos industriais e acadêmicos - qual dentre 24 teoremas matemáticos listados era o mais bonito. As respostas deveriam dar notas de 0 a 10 para cada item. O resultado seria publicado no verão de 1990: em primeiro lugar com uma nota média de 7,7 foi, claro, a identidade de Euler (em segundo, com 7,5 de média, uma outra fórmula de Euler, a do poliedro: V + F = E + 2 - o número de vértices mais o de faces é igual ao número de arestas mais 2; com a mesma média, em terceiro lugar o teorema que diz que o número de números primos é infinito). Como trata-se de uma publicação matemática e não de estatística, deram apenas a média, não os desvios padrões para sabermos se são significativamente diferentes os valores (com n=68 respostas válidas). Em 2004, Robert P. Crease conduziu uma enquete em seu blogue no Physics World, sobre as maiores equações de todos os tempos (o que acabou rendendo seu livro citado mais acima), a identidade de Euler empatou em primeiro lugar juntamente com as quatro equações de Maxwell do eletromagnetismo.
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Fonte: xkcd

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O fato de a identidade envolver três (ou quatro) constantes matemáticas proeminentes é constanfrequentemente citado em sua classificação como belo. Mas apenas isso basta para justificá-lo como tal? O filósofo mexicano Ulianov Montaño Juarez considera um panorama maior:

"The aesthetic experience associated with Euler’s identity depends not only on the person’s inner events occurring during the act of contemplating the formula, but also on things like a person’s knowing the mathematics which allows us to make sense of the sign e^(i.π) + 1 = 0, the way a person’s preferences were formed, other people’s opinions, and so forth. The aesthetic experience of Euler’s identity depends on events that are not necessarily occurring at the exact moment of the experience, but which have an influence on it; that is, the process of experiencing Euler’s identity is embedded in a larger aesthetic-process." P: 86.

["A experiência estética associada à identidade de Euler depende não apenas dos eventos internos à pessoa que ocorrem durante o ato de se contemplar a fórmula, mas também de coisas como a pessoa conhecer a matemática que permite fazer sentido dos símbolos e^(i.π) + 1 = 0, o modo como as preferências da pessoa são formados, a opinião de outras pessoas e assim por diante. A experiência estética da identidade de Euler depende de eventos que não ocorrem necessariamente no momento exato da experiência, mas que têm influência sobre ela; isto é, o processo de experienciar a identidade de Euler é embutida em um processo estético mais amplo."]

Montano, U. 2014. Explaining Beauty in Mathematics: An Aesthetic Theory of Mathematics. Springer. 224 pp.
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A história da identidade de Euler é um tanto enigmática. Certamente o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi o primeiro a obter a fórmula e^(i.v) = cos v + i.sen v e demonstrá-la com rigor matemático no capítulo 8 de seu Introductio in analysin infinitorum. Mas ele nunca escreveu a identidade e^(i.π) + 1 = 0. O mais próximo a que chegou foi o equivalente: ln(−1) = πi. (Sandifer, C.E. 2014. How Euler did even more. MAA. 240pp. Pp: 83-7.)